Bài viết sau hướng dẫn bạn cách đưa thừa số trong dấu căn ra bên ngoài hoặc đưa thừa số từ bên ngoài vào trong dấu căn. Sau mỗi lý thuyết là ví dụ minh họa chi tiết.
A. Lý thuyết
1. Đưa một thừa số ra ngoài dấu căn
Theo quy tắc khai phương một tích ta có:
$\sqrt {{A^2}.B} = \sqrt {{A^2}} .\sqrt B = \left| A \right|.\sqrt B $ với B ≥ 0.
Từ (1) ta thấy:
- Khi $\left\{ \begin{array}{l} A \ge 0\\ B \ge 0 \end{array} \right.$ thì $\sqrt {{A^2}.B} = A.\sqrt B $
- Khi $\left\{ \begin{array}{l} A < 0\\ B \ge 0 \end{array} \right.$ thì $\sqrt {{A^2}.B} = – A.\sqrt B $
2. Đưa thừa số vào trong dấu căn
Từ $A=\sqrt{{{A}^{2}}}$với A ≥ 0 và quy tắc nhân căn bậc hai ta có:
- Với A ≥ 0, B ≥ 0 thì $A\sqrt{B}=\sqrt{{{A}^{2}}}.\sqrt{B}=\sqrt{{{A}^{2}}.B}$
- Với A < 0, B ≥ 0 thì $A\sqrt{B}=-\left( \sqrt{{{A}^{2}}} \right).\sqrt{B}=-\sqrt{{{A}^{2}}.B}$
3. Khử mẫu của biểu thức dưới căn
Từ quy tắc khai phương một thương ta có: Với A.B ≥ 0 và B ≠ 0$\sqrt{\frac{A}{B}}=\sqrt{\frac{A}{B}.\frac{B}{B}}=\sqrt{\frac{AB}{{{B}^{2}}}}=\frac{\sqrt{AB}}{\left| B \right|}$
B. Bài tập
Bài 1: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
a) $\sqrt{9.2}$
b) $\sqrt{16.40}$
c) $\sqrt{75.96}$
Lời giải
a) $\sqrt{9.2}=\sqrt{{{3}^{2}}.2}=\left| 3 \right|.\sqrt{2}=3\sqrt{2}$
b) $\sqrt{16.40}=\sqrt{16.4.10}=\sqrt{{{8}^{2}}{{.2}^{2}}.10}=\left| 8 \right|.\left| 2 \right|.\sqrt{10}=16\sqrt{10}$
c) $\sqrt {75.96} $ $ = \sqrt {\left( {25.3} \right).\left( {16.6} \right)} $ $ = \sqrt {\left( {25.3} \right).\left( {16.\left( {3.2} \right)} \right)} $ $ = \sqrt {{5^2}{{.4}^2}{{.3}^2}.2} $ $ = 5.4.3.\sqrt 2 = 60\sqrt 2 $
Bài 2: Đưa thừa số vào trong dấu căn
a) $2\sqrt{3}$
b) $4\sqrt{2}$
c) $7\sqrt{5}$
Lời giải
a) $2\sqrt{3}=\sqrt{{{\left( 2 \right)}^{2}}.3}=\sqrt{12}$
b) $4\sqrt{2}=\sqrt{{{\left( 4 \right)}^{2}}.2}=\sqrt{32}$
c) $7\sqrt{5}=\sqrt{{{\left( 7 \right)}^{2}}.5}=\sqrt{49.5}=\sqrt{245}$
Bài 3. So sánh các cặp số dưới đây
a) $4\sqrt{2}$ và $2\sqrt{7}$
b) $\frac{1}{2}\sqrt{28}$ và $6\sqrt{\frac{1}{3}}$
c) $10\sqrt{\frac{2}{5}}$ và $7\sqrt{\frac{1}{7}}$
Lời giải
a) Ta thấy
- $4\sqrt{2}=\sqrt{{{\left( 4 \right)}^{2}}.2}=\sqrt{32}$
- $2\sqrt{7}=\sqrt{{{\left( 2 \right)}^{2}}.7}=\sqrt{28}$
Vậy là $\sqrt{32}>\sqrt{28}\Rightarrow 4\sqrt{2}>2\sqrt{7}$
b) Ta có:
- $\frac{1}{2}\sqrt{28}=\sqrt{{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}.28}=\sqrt{\frac{1}{4}.28}=\sqrt{7}$
- $6\sqrt{\frac{1}{3}}=\sqrt{{{\left( 6 \right)}^{2}}.\frac{1}{3}}=\sqrt{12}$
Vậy là $\sqrt{7}<\sqrt{12}\Rightarrow \frac{1}{2}\sqrt{28}<6\sqrt{\frac{1}{3}}$
c) Ta có
- $10\sqrt{\frac{2}{5}}=\sqrt{{{10}^{2}}.\frac{2}{5}}=\sqrt{100.\frac{2}{5}}=\sqrt{40}$
- $7\sqrt{\frac{1}{7}}=\sqrt{{{\left( 7 \right)}^{2}}.\frac{1}{7}}=\sqrt{7}$
Vậy là $\sqrt{40}>\sqrt{7}\Rightarrow $$10\sqrt{\frac{2}{5}}$ > $7\sqrt{\frac{1}{7}}$
Bài 4. Hãy khử căn thức ở mẫu
a) $\sqrt{\frac{2}{3}}$
b) $\frac{7}{\sqrt{5}}$
c) $\sqrt{\frac{2+\sqrt{6}}{3}}$
Lời giải
a) $\sqrt{\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}.\frac{3}{3}}=\sqrt{\frac{6}{{{3}^{2}}}}=\frac{\sqrt{6}}{\left| 3 \right|}=\frac{\sqrt{6}}{3}$
b) $\frac{7}{\sqrt{5}}=\frac{7}{\sqrt{5}}.\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{7\sqrt{5}}{\sqrt{{{5}^{2}}}}=\frac{7\sqrt{5}}{\left| 5 \right|}=\frac{7\sqrt{5}}{5}$
c) $\sqrt {\frac{{2 + \sqrt 6 }}{3}} = \sqrt {\frac{{2 + \sqrt 6 }}{3}.\frac{3}{3}} $ $ = \sqrt {\frac{{6 + 3\sqrt 6 }}{{{3^2}}}} = \frac{{\sqrt {6 + 3\sqrt 6 } }}{{\left| 3 \right|}}$ $ = \frac{{\sqrt {6 + 3\sqrt 6 } }}{3}$
Bài 5. Tìm giá trị x của phương trình sau $\sqrt{{{\left( -\frac{1}{2} \right)}^{2}}.{{x}^{2}}}$
Lời giải
$\sqrt {{{\left( { – \frac{1}{2}} \right)}^2}.{x^2}} = 4$ $ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( { – \frac{1}{2}.x} \right)}^2}} = 4$ $ \Leftrightarrow \left| { – \frac{1}{2}.x} \right| = 4$ $ \Leftrightarrow \frac{1}{2}.\left| x \right| = 4 \Leftrightarrow \left| x \right| = 8$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 8\\ x = – 8 \end{array} \right.$
Nhận xét: Tìm được 2 giá trị của x thỏa mãn phương trình là x = – 8 và x = 8.
Để hiểu rõ kiến thức này hơn các em có thể làm thêm bài tập dưới đây
