Muốn đạt điểm cao trong bài thi học kì, tốt nghiệp THPT Quốc Gia hay bài thi vào các trường CĐ, ĐH thì việc nhớ các công thức luôn cần thiết. Điêfu này càng đúng khì các em làm bài thi trắc nghiệm, bởi thời gian có hạn, số lượng câu nhiều nên muốn giải nhanh bạn cần nhớ chính xác, gọi đúng công thức.
Vì vậy hôm nay tipvl muốn chia sẻ tới các bạn công thức nguyên hàm nâng cao. Đây là dạng toán có nhiều công thức, các công thức thường xuất hiện trong đề thi. Mức độ phân bố ở dạng câu dễ, vận dụng, vận dụng cao đều có. Thấy được điều đó nên, team tipvl đã dày công biên soạn chi tiết sau đo đó sắp xếp chúng theo logic để bạn dễ học. Bên cạnh công thức có phần bài tập có lời giải và bài tập trắc nghiệm tự giải giúp bạn rèn luyện kĩ năng giải nguyên hàm sao cho hiệu quả. Bắt đầu vào bài viết nhé
1. Tính chất nguyên hàm
Nguyên hàm có 3 tính chất cơ bản nhưng bạn cần phải nhớ:
2. Bảng công thức nguyên hàm
Có 5 bàng nguyên hàm, được tipvl phân thành 5 chủ đề tương ứng để bạn tiện tra cứu cũng như học tập
a) Công thức nguyên hàm cơ bản
Đây là 6 công thức cơ bản thường dùng, ta chỉ cần áp dụng công thức là ra.
b) Nguyên hàm phân thức
Nguyên hàm này phức tạm hơn chút, tuy nhiên bạn nhớ chính xác mỗi công thức thì việc giải dạng này trở lên đơn giản
c) Nguyên hàm căn thức
tipvl giới thiệu 5 nguyên hàm căn thức thường dùng:
d) Nguyên hàm của hàm mũ
e) Nguyên hàm lượng giác
Nguyên hàm lượng giác trước giờ được đánh giá là dạng khó nhưng mật độ xuất hiện trong đề thi lại nhiều nên tipvl đã biên soạn tỉ mỉ, đưa chúng về những công thức thường xuyên gặp.
Bạn chỉ cần nhớ chính xác, xem bài toán, câu trắc nghiệm đó rơi vào công thức nào thì ta “kéo” nó ra và áp vào bài toán là ra mà không cần biến đổi quá nhiều.
3. Bài tập có lời giải
Bài tập 1. Biết hàm số $F(x) = – x\sqrt {1 – 2x} + 2017$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{{ax + b}}{{\sqrt {1 – 2x} }}$. Khi đó tổng của $a$ và $b$ là
A. $ – 2$.
B. $2$.
C. $0$.
D. $1$.
Lời giải
$F'(x) = \left( { – x\sqrt {1 – 2x} + 2017} \right)’$ $ = \frac{{3x – 1}}{{\sqrt {1 – 2x} }}$
$ \Rightarrow a + b = 3 + \left( { – 1} \right) = 2$
Bài tập 2: Tính $F\left( x \right) = \int {\frac{{\sin 2x}}{{\sqrt {4{{\sin }^2}x + 2{{\cos }^2}x + 3} }}} dx$. Hãy chọn đáp án đúng.
A. $F\left( x \right) = – \sqrt {6 – \sin 2x} + C$. B. $F\left( x \right) = \sqrt {6 – \sin 2x} + C$.
C. $F\left( x \right) = \sqrt {6 + \cos 2x} + C$. D. $F\left( x \right) = \sqrt {6 – \cos 2x} + C$.
Lời giải
Vì $\int {\frac{{\sin 2x}}{{\sqrt {4{{\sin }^2}x + 2{{\cos }^2}x + 3} }}} dx$ $ = \int {\frac{{\sin 2x}}{{\sqrt {6 – \cos 2x} }}} dx$ $ = \int {\frac{{d\left( {6 – \cos 2x} \right)}}{{2\sqrt {6 – \cos 2x} }}} $ $ = \sqrt {6 – \cos 2x} + C$
Bài tập 3: Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $\frac{1}{{{e^x} + 1}}$ thỏa mãn $F(0) = – \ln 2$. Tìm tập nghiệm S của phương trình $F(x) + \ln \left( {{e^x} + 1} \right) = 3.$
A. $S = \left\{ { – 3} \right\}$
B. $S = \left\{ { \pm 3} \right\}$
C. $S = \left\{ 3 \right\}$
D. $S = \emptyset $
Lời giải
Ta có $F(x) = \int {\frac{1}{{{e^x} + 1}}} dx$ $ = \int {\frac{{{e^x}}}{{{e^x}\left( {{e^x} + 1} \right)}}} dx$ $ = \int {\left( {\frac{1}{{{e^x}}} – \frac{1}{{{e^x} + 1}}} \right)} d\left( {{e^x}} \right)$ $ = \ln \left( {\frac{{{e^x}}}{{{e^x} + 1}}} \right) + C$
Vì $F\left( 0 \right) = – \ln 2 \Leftrightarrow C = 0$. Do đó $F(x) = \ln \left( {\frac{{{e^x}}}{{{e^x} + 1}}} \right)$
Vì Xét phương trình $F(x) + \ln \left( {{e^x} + 1} \right) = 3 \Leftrightarrow \ln \left( {{e^x}} \right) = 3 \Leftrightarrow x = 3$
Vậy $S = \left\{ 3 \right\}$
4. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Nguyên hàm của hàm số: y = $\int {\frac{{({x^2} + x){e^x}}}{{x + {e^{ – x}}}}} dx$ là:
A. F(x) = $x{e^x} + 1 – \ln \left| {x{e^x} + 1} \right| + C$
B. F(x) = ${e^x} + 1 – \ln \left| {x{e^x} + 1} \right| + C$
C. F(x) = $x{e^x} + 1 – \ln \left| {x{e^{ – x}} + 1} \right| + C$
D. F(x) = $x{e^x} + 1 + \ln \left| {x{e^x} + 1} \right| + C$
Câu 2: Nguyên hàm của hàm số: $I = \int {\left( {x – 2} \right)\sin 3xdx} $ là:
A. F(x) = $ – \frac{{\left( {x – 2} \right)\cos 3x}}{3} + \frac{1}{9}\sin 3x + C$
B. F(x) = $\frac{{\left( {x – 2} \right)\cos 3x}}{3} + \frac{1}{9}\sin 3x + C$
C. F(x) = $ – \frac{{\left( {x + 2} \right)\cos 3x}}{3} + \frac{1}{9}\sin 3x + C$
D. F(x) = $ – \frac{{\left( {x – 2} \right)\cos 3x}}{3} + \frac{1}{3}\sin 3x + C$
Câu 3: Một nguyên hàm $\int {(x – 2)\sin 3xdx = – \frac{{(x – a)cos3x}}{b}} + \frac{1}{c}\sin 3x + 2017$ thì tổng $S = a.b + c$ bằng:
A. $S = 14$
B. $S = 15$
C. $S = 3$
D. $S = 10$
Câu 4: Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm $y = x.\cos x$ mà $F(0) = 1$. Phát biểu nào sau đây là đúng:
A. $F(x)$ là hàm chẵn
B. $F(x)$ là hàm lẻ
C. $F(x)$ là hàm tuần hoàn chu kỳ $2\pi $
D. $F(x)$ không là hàm chẵn cũng không là hàm lẻ
Câu 5: $\int {x\cos xdx} $ bằng:
A. $\frac{{{x^2}}}{2}\sin x + C$
B. $x\sin x + c{\text{os}}x + C$
C. $x\sin x – {\text{sin}}x + C$
D. $\frac{{{x^2}}}{2}c{\text{os}}x + C$
Câu 6: Một học sinh tìm nguyên hàm của hàm số $y = x\sqrt {1 – x} $ như sau:
(I) Đặt u = 1 – x ta được $y = (1 – u)\sqrt u $
(II) Suy ra $y = {u^{\frac{1}{2}}} – {u^{\frac{3}{2}}}$
(III): Vậy nguyên hàm $F(x)\, = \frac{2}{3}{u^{\frac{2}{3}}} – \frac{2}{5}{u^{\frac{5}{2}}} + C$
(IV) Thay u = 1 – x ta được: $F(x) = \frac{2}{3}(1 – x)\sqrt {1 – x} – \frac{2}{5}{(1 – x)^2}\sqrt {1 – x} + C$
Lập luận trên, nếu sai thì sai từ giai đoạn nào?
A. II
B. III
C. I
D. IV
Câu 7: Họ các nguyên hàm của hàm số $y = {\tan ^3}x$ là:
A. ${\tan ^2}x + \ln \left| {\cos x} \right|$.
B. $\frac{1}{2}{\tan ^2}x + \ln \left| {\cos x} \right|$
C. $\frac{1}{2}\left( {{{\tan }^2}x + \ln \left| {\cos x} \right|} \right)$
D. $ – \frac{1}{2}{\tan ^2}x + \ln \left| {\cos x} \right|$
Câu 8: Để tìm họ nguyên hàm của hàm số: $f(x) = \frac{1}{{{x^2} – 6x + 5}}$. Một học sinh trình bày như sau:
(I) $f(x) = \frac{1}{{{x^2} – 6x + 5}} = \frac{1}{{(x – 1)(x – 5)}} = \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{x – 5}} – \frac{1}{{x – 1}}} \right)$
(II) Nguyên hàm của các hàm số $\frac{1}{{x – 5}},\,\,\,\frac{1}{{x – 1}}$ theo thứ tự là: $\ln \left| {x – 5} \right|,\,\,\,\ln \left| {x – 1} \right|$
(III) Họ nguyên hàm của hàm số f(x) là: $\frac{1}{4}(\ln \left| {x – 5} \right| – \ln \left| {x – 1} \right| + C = \frac{1}{4}\left| {\frac{{x – 1}}{{x – 5}}} \right| + C$
Nếu sai, thì sai ở phần nào?
A. I
B. I, II
C. II, III
D. III
Ngoài những bài tập ở trên bạn còn có thể tải file pdf ở dưới
Công thức nguyên hàm nâng cao là chuyên đề toán học thuộc lớp 12 đã được tipvl biên soạn và tổng hợp từ nhiều nguồn tin cậy. Đây được xem là tài liệu vô cùng hữu ích dành cho các bạn đang quan tâm tới nguyên hàm. Khi bạn nhớ chính xác mỗi công thức nguyên hàm trong bảng trên thì khi làm thi thời gian giải mỗi câu rút ngắn, kết quả chính xác tuyệt đối, điểm số tăng rõ rệt. Thời gian dư bạn dành giải các câu khó, khiến bài thi bạn có khả năng đạt điểm tuyệt đối tăng lên. Nhiều lợi ích đạt được là vậy nên thời gian bạn dành cho nó là cần thiết, thường xuyên xem lại sẽ giúp bạn nhớ lâu, nhớ chính xác. Chúc bạn học tốt nha.