Cách tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

Để tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng d₁ và d₂ chéo nhau thì bạn làm như sau:

1. Lý thuyết cách tính khoảng cách giữa haid đường thẳng chéo nhau trong không gian Oxyz

Cách 1:

• Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) chưa d₁ sao cho (P) // d₂.
• Bước 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ chính là khoảng cách từ một điểm M bất kì trên d₂ tới mặt phẳng (P): d(d₁, d₂) = d((P), d₂) = d((P), M)

Cách 2:

• Bước 1: Tìm vecto chỉ phương của hai dường thẳng $\overrightarrow {{u_1}} ,\,\overrightarrow {{u_2}} \,$
• Bước 2: Lấy một điểm M₁ ∈ d₁ và một điểm M₂ ∈ d₂.
• Bước 3: Xác định vecto $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} $
• Bước 4: Áp dụng công thức $d\left( {{d_1};{d_2}} \right) = \frac{{\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \,}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}$

2. Bài tập vận dụng

Ví dụ: Trong không gian tọa độ Oxyz, biết

• phương trình chính tắc đường thẳng d₁: $\frac{{x – 3}}{4} = \frac{{y – 3}}{{ – 1}} = \frac{{z – 3}}{{ – 1}}$
• phương trình tham số đường thẳng d₂: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 2 – 2t}\\ {y = 1 + t}\\ {z = 1} \end{array}} \right.$

Hãy tìm khoảng cách từ d₁ đến d₂.

Lời giải

Ta thấy d₁ không đồng phẳng với d₂ nên hai đường thẳng này chéo nhau. Để tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng này ta sử dụng lý thuyết như trên:

• Vecto chỉ phương của d₁: $\overrightarrow {{u_1}} = \left( { – 2;1;0} \right)$
• Vecto chỉ phương của d₂: $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {4; – 1; – 1} \right)$

Lúc này:

Mặt khác, ta thấy: $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| \begin{array}{l} {y_1}\,{z_1}\\ {y_2}\,{z_2} \end{array} \right|;\,\left| \begin{array}{l} {z_1}\,{x_1}\\ {z_2}\,{x_2} \end{array} \right|;\,\left| \begin{array}{l} {x_1}\,{y_1}\\ {x_2}\,{y_2} \end{array} \right|} \right)$

$ = \left( {{y_1}{z_2} – {y_2}{z_1};\,{z_1}{x_2} – {z_2}{x_1};\,{x_1}{y_2} – {x_2}{y_1}} \right)$

$ = \left( { – 1;\, – 2;\, – 2} \right)$

• Điểm M₁(2; 1; 1) ∈ d₁.
• Điểm M₁(3; 3; 3) ∈ d₂.

Thì vecto $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} $ = ( 1; 2; 2)

Dựa vào công thức tính khoảng cách: $d\left( {{d_1};{d_2}} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}$ $ = \frac{{\left| {\left( { – 1} \right).1 + \left( { – 2} \right).2 + \left( { – 2} \right).2} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { – 1} \right)}^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2}} }} = 3$

Trên đây là chia sẻ về cách tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau. Hy vọng bài viết này hữu ích với bạn trong quá trình học tập.