Các dạng bài tập tích vô hướng của 2 vectơ

Tích vô hướng của 2 vecto trong hệ tọa độ Oxy là phép toán cơ bản thuộc hình học 10. Nó là kiến thức nền tảng để bạn học tích vô hướng trong không gian ở lớp 12. Bài viết sau sẽ giới thiệu chi tiết lý thuyết kèm các dạng bài tập thường gặp

1. Định nghĩa tích vô hương trong Oxy

Giả sử có hai vecto $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $, nếu

Chú ý:

  • Nếu như $\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \\ \overrightarrow b \ne \overrightarrow 0 \\ \overrightarrow a .\overrightarrow b = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \overrightarrow a \bot \overrightarrow b $
  • Khi $\overrightarrow a .\overrightarrow a = {\left( {\overrightarrow a } \right)^2} = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow a } \right|.\cos {0^0} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2}$

2. Các tính chất của tích vô hướng

Có 4 tính chất quan trọng của tích vô phương mà bạn cần nhớ khi giải bài tập. Với 3 vecto $\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b ,\,\overrightarrow c $ bất kì và mọi số k thì ta có

Giả sử hai vecto $\vec a = \left( {{a_1};{a_2}} \right),{\rm{ }}\vec b = \left( {{b_1};{b_2}} \right)$ khác vecto $\overrightarrow 0 $ thì góc tạo bởi giữa 2 vecto được xác định theo công thức

Công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm $A\left( {{x_A},\,{y_A}} \right),\,B\left( {{x_B},\,{y_B}} \right)$ cho trước là:

3. Phân dạng bài tập tích vô hướng

Dạng 1: Tính khoảng cách

Giả sử biết tọa độ của 2 điểm lần lượt là A( xA; yB) và B( xB; yB), khi đó khoảng cách giữa 2 điểm được xác định theo công thức

Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy có hai điểm M( 0; 0) và N (4; – 3). Hãy xác định khoảng cách từ M tới N.

Lời giải

Dựa theo công thức tính khoảng cách ở phía trên, ta tính được khoảng cách giữa 2 điểm M và N là

$\begin{array}{l} MN = \sqrt {{{({x_N} – {x_M})}^2} + {{({y_N} – {y_M})}^2}} \\ = \sqrt {{{(4 – 0)}^2} + {{( – 3 – 0)}^2}} = 5 \end{array}$

Dạng 2. Tính góc của hai vecto

Trong mặt phẳng Oxy, khi biết tọa độ của hai vecto thì ta dễ dạng tính được góc của nó theo công thức đã học

Ví dụ: Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai vecto $\vec a = \left( {2;3} \right)$ và $\vec b = \left( { – 3;0} \right)$. Hãy tính góc giữa 2 vecto này

Lời giải

Dựa theo công thức tính góc của hai vecto ta có:

$\begin{array}{*{20}{l}} {\cos (\vec a,\vec b) = \frac{{\vec a.\vec b}}{{|\vec a|.|\vec b|}}}\\ { = \frac{{{a_1}.{b_1} + {a_2}.{b_2}}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2} .\sqrt {{b_1}^2 + {b_2}^2} }}}\\ { = \frac{{2.3 + \left( { – 3} \right).0}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2}} .\sqrt {{{\left( { – 3} \right)}^2} + {0^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt {13} }}} \end{array}$

Góc giữa 2 vecto là $(\vec a,\vec b) \approx {56^0}$

Trên đây là những chia sẻ chi tiết về tích vô hướng và các dạng bài tập thường gặp. Hy vọng nó đã giúp ích cho bạn sau này. Chúc bạn học tốt