Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng chéo nhau

Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng chéo nhau ${{d}_{1}}:\frac{x-2}{1}=\frac{y+3}{2}=\frac{z-3}{-1}$, ${{d}_{2}}:\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-4}{1}$. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng ${{d}_{1}},\,{{d}_{2}}$ có phương trình là

A. $\frac{x-3}{1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-2}{-1}$.

B. $\frac{x-3}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-2}{-1}$.

C. $\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-4}{-1}$.

D. $\frac{x+1}{1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z+4}{-1}$.

Lời giải

Chọn A

Gọi $\Delta $ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng ${{d}_{1}},\,{{d}_{2}}$ và $A,B$lần lượt là giao điểm của $\Delta $ và ${{d}_{1}},\,{{d}_{2}}$

Khi đó ta có $A\left( 2+t;-3+2t;3-t \right);\,$ $B\left( {1 + t’;1 + t’;4 + t’} \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow{AB}\left( -1+{t}’-t;4+{t}’-2t;1+{t}’+t \right)$

Gọi $\overrightarrow{{{u}_{1}}}\left( 1;2;-1 \right),\overrightarrow{{{u}_{2}}}\left( 2;1;1 \right)$lần lượt là VTCP của ${{d}_{1}},\,{{d}_{2}}$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l} \Delta \bot {d_1}\\ \Delta \bot {d_2} \end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_1}} = 0\\ \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_2}} = 0 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 1 + t’ – t + 8 + 2t’ – 4t – 1 – t’ – t = 0\\ – 2 + 2t’ – 2t + 4 + t’ – 2t + 1 + t’ + t = 0 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t = 1\\ t’ = 0 \end{array} \right.$ $ \Rightarrow A\left( {3; – 1;2} \right);\overrightarrow {AB} \left( { – 2;2;2} \right)$

Vậy đường thẳng $\Delta $ đi qua $A$ và có VTCP $\overrightarrow{u}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ có phương trình chính tắc là:

$\frac{x-3}{1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-2}{-1}$.